Условие
В параллелограмме ABCD из вершин B и D на диагональ AC опущены перпендикуляры BH и DK, точки H и K не совпадают. Докажите, что четырёхугольник BHDK — параллелограмм.
Подсказка
Что можно сказать о двух прямых, перпендикулярных одной и той же прямой AC?
Сравните прямоугольные треугольники с гипотенузами AB и CD.
Показать ответ
BHDK — параллелограмм
Пошаговое решение
- Доказываем параллельность BH и DK
BH ⊥ AC и DK ⊥ AC, а две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны: BH ∥ DK.
- Сравниваем треугольники ABH и CDK
Треугольники ABH и CDK прямоугольные (углы при H и K прямые). Гипотенузы AB=CD как противоположные стороны параллелограмма. ∠BAC=∠DCA как накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей AC. Если эти углы острые, то H лежит на луче AC, K — на луче CA, и ∠BAH=∠BAC=∠DCA=∠DCK. Если они тупые, то H и K лежат на продолжениях диагонали за точки A и C, и ∠BAH=180°−∠BAC=180°−∠DCA=∠DCK. (Если ∠BAC=90°, то H=A, K=C и сразу BH=BA=DC=DK.)
- Получаем BH=DK
Прямоугольные треугольники ABH и CDK равны по гипотенузе и острому углу, поэтому их соответствующие катеты равны: BH=DK.
- Применяем признак параллелограмма
В четырёхугольнике BHDK противоположные стороны BH и DK параллельны и равны; B и D лежат по разные стороны от AC. По признаку (пара противоположных сторон равна и параллельна) четырёхугольник BHDK является параллелограммом.
- Проверяем обоснования и типичную ошибку
Ошибка — доказать только BH=DK и на этом остановиться: одного равенства сторон мало, нужна и параллельность. Другой верный путь: если O — точка пересечения диагоналей ABCD, то из равенства треугольников BOH и DOK получаем OH=OK, а OB=OD, и диагонали HK и BD четырёхугольника BHDK делятся точкой O пополам.
Ответ: BHDK — параллелограмм
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: обоснованы параллельность BH и DK (перпендикулярны AC) и равенство BH=DK (равенство прямоугольных треугольников ABH и CDK по гипотенузе и острому углу с указанием накрест лежащих углов), назван признак параллелограмма.
- 1
- Доказательство в целом верное, но содержит неточность: например, равенство треугольников ABH и CDK заявлено без указания, почему равны углы BAH и DCK, или не упомянута параллельность BH и DK.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.