Условие
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 7 и 28, а диагональ BD равна 14. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Подсказка
Какие углы образует диагональ BD с параллельными основаниями?
Запишите стороны, прилежащие к равным углам, и сравните их отношения.
Показать ответ
треугольники CBD и BDA подобны
Пошаговое решение
- Находим пару равных углов
BC ∥ AD как основания трапеции, BD — секущая, поэтому ∠CBD=∠BDA как накрест лежащие.
- Выписываем стороны, заключающие эти углы
В треугольнике CBD угол CBD заключён между сторонами BC=7 и BD=14. В треугольнике BDA угол BDA заключён между сторонами DB=14 и DA=28.
- Сравниваем отношения
BC/DB=7/14=1/2 и BD/DA=14/28=1/2. Отношения равны, то есть стороны, заключающие равные углы, пропорциональны.
- Применяем признак подобия
По второму признаку подобия (две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы между ними равны) треугольники CBD и BDA подобны с коэффициентом 1/2; вершины соответствуют так: C↔B, B↔D, D↔A.
- Проверяем соответствие и типичную ошибку
Стороны берём строго те, что прилегают к равным углам, и в одном порядке: меньшая к меньшей. Ошибка — сравнить BC с AD, а BD с BD: 7/28=1/4, а 14/14=1, отношения не равны, и можно ошибочно решить, что подобия нет. Заметим также, что BD²=196=BC·AD=7·28.
Ответ: треугольники CBD и BDA подобны
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: указано равенство углов CBD и BDA как накрест лежащих при BC ∥ AD, верно подобраны прилежащие к ним стороны и проверено равенство отношений 7/14=14/28, назван второй признак подобия.
- 1
- Доказательство в целом верное, но содержит неточность: например, не обосновано равенство углов CBD и BDA (не названы параллельные прямые и секущая) или признак подобия применён без указания, что углы заключены между пропорциональными сторонами.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.