Условие
В выпуклой трапеции ABCD основания AB=14, CD=8, боковые стороны AD=BC=5. а) Докажите, что углы при основании AB равны. б) Найдите высоту трапеции.
Подсказка
Из D и C опустим перпендикуляры DH и CK на прямую AB. Высоты равны, поскольку основания параллельны.
Пусть направленная проекция AD на AB равна t. Тогда проекция от C до B равна 6−t. Равенство боковых сторон даёт t²+h²=(6−t)²+h², откуда t=3. Обе проекции положительны, H и K лежат на AB.
Показать ответ
а) ∠DAB=∠ABC; б) 4
Пошаговое решение
- Опускаем перпендикуляры
Из D и C опустим перпендикуляры DH и CK на прямую AB. Высоты равны, поскольку основания параллельны.
- Находим расположение проекций
Пусть направленная проекция AD на AB равна t. Тогда проекция от C до B равна 6−t. Равенство боковых сторон даёт t²+h²=(6−t)²+h², откуда t=3. Обе проекции положительны, H и K лежат на AB.
- Доказываем равенство углов
Прямоугольные треугольники AHD и BKC равны по гипотенузе AD=BC и катету DH=CK. Следовательно углы DAH и CBK, то есть углы при AB, равны.
- Вычисляем высоту
h²=5²−3²=16, значит h=4.
Ответ: а) ∠DAB=∠ABC; б) 4