Условие
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC прямая, параллельная AC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что AN=CM.
Подсказка
Какой треугольник отсекает от ABC прямая, параллельная основанию?
Найдите два треугольника, сторонами которых являются отрезки AN и CM.
Показать ответ
AN=CM
Пошаговое решение
- Находим равные углы при параллельных прямых
MN∥AC. При секущей AB углы BMN и BAC соответственные, при секущей BC углы BNM и BCA соответственные, поэтому ∠BMN=∠BAC и ∠BNM=∠BCA.
- Доказываем, что треугольник MBN равнобедренный
AB=BC, поэтому ∠BAC=∠BCA как углы при основании. Значит, ∠BMN=∠BNM, и в треугольнике MBN против равных углов лежат равные стороны: BM=BN.
- Сравниваем отрезки AM и CN
M лежит на AB, N — на BC, поэтому AM=AB−BM и CN=CB−BN. Из AB=CB и BM=BN получаем AM=CN.
- Доказываем равенство треугольников AMC и CNA
В треугольниках AMC и CNA: AM=CN, AC — общая сторона, ∠MAC=∠NCA как углы при основании. По двум сторонам и углу между ними треугольники равны, поэтому MC=NA.
- Делаем вывод
AN=CM, что и требовалось. Можно сравнить и треугольники ABN и CBM: AB=CB, BN=BM, угол B общий. Типичная ошибка — написать BM=BN без доказательства: это равенство следует из параллельности MN и AC и равенства углов при основании.
Ответ: AN=CM
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: из параллельности MN и AC и равенства углов при основании доказано BM=BN, получено AM=CN, и равенство треугольников AMC и CNA (или ABN и CBM) обосновано по первому признаку, откуда AN=CM.
- 1
- Доказательство в целом верное, но содержит неточность: равенство треугольников доказано верно, но равенство BM=BN (или AM=CN) взято без обоснования через соответственные углы при параллельных прямых.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.