ОГЭ, задание 24: Геометрия: доказательство

Чему равна сумма двух соседних углов параллелограмма? А сумма их половин?

Рассмотрите треугольник, образованный стороной AB и биссектрисами углов A и B.

1. Находим угол между биссектрисами углов A и B

   AD ∥ BC, AB — секущая, поэтому углы A и B параллелограмма односторонние: ∠A+∠B=180°. В треугольнике ABK ∠KAB=∠A/2, ∠KBA=∠B/2, их сумма (∠A+∠B)/2=90°. Значит ∠AKB=180°−90°=90°.

2. Переходим к углу четырёхугольника

   Стороны KN и KL четырёхугольника лежат на биссектрисах углов A и B, а эти прямые, как доказано, перпендикулярны. Поэтому ∠NKL=90°.

3. Повторяем для остальных вершин

   Точно так же пары углов B и C, C и D, D и A — односторонние при параллельных сторонах, их суммы равны 180°, и биссектрисы каждой пары перпендикулярны: ∠KLM=∠LMN=∠MNK=90°.

4. Делаем вывод

   Параллелограмм не ромб, поэтому точки K, L, M, N различны и образуют четырёхугольник. Все четыре его угла прямые, значит противоположные стороны параллельны (перпендикулярны одной прямой), и этот четырёхугольник — прямоугольник.

5. Проверяем обоснования и типичную ошибку

   Ошибка — доказать прямой угол только в одной вершине и написать «аналогично» без указания, какие углы параллелограмма дают в сумме 180°. Условие «не ромб» важно: у ромба биссектрисы лежат на диагоналях и все четыре точки сливаются в одну.

Ответ: KLMN — прямоугольник

2

Доказательство верное, все шаги обоснованы: из равенства ∠A+∠B=180° выведено, что биссектрисы соседних углов перпендикулярны, это обосновано для всех четырёх вершин KLMN (с указанием соответствующих пар углов) и сделан вывод о прямоугольнике.

1

Доказательство в целом верное, но содержит неточность: например, прямой угол доказан в одной вершине, а для остальных сказано лишь «аналогично» без пояснения, или не объяснено, почему угол четырёхугольника совпадает с углом между биссектрисами.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.