Условие
В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны BC. Известно, что AE = DE. Докажите, что ABCD — прямоугольник.
Подсказка
Сравните треугольники, у которых есть стороны AE и DE. Какие три пары равных сторон у них есть?
Какова сумма соседних углов параллелограмма?
Показать ответ
ABCD — прямоугольник
Пошаговое решение
- Выбираем треугольники
Рассмотрим треугольники ABE и DCE. AB=DC как противоположные стороны параллелограмма; BE=CE, так как E — середина BC; AE=DE по условию.
- Доказываем равенство треугольников
Три стороны треугольника ABE соответственно равны трём сторонам треугольника DCE, значит треугольники равны по третьему признаку. Против равных сторон AE и DE лежат равные углы: ∠ABE=∠DCE, то есть ∠B=∠C параллелограмма.
- Находим угол B
AB ∥ CD, BC — секущая, поэтому углы B и C односторонние: ∠B+∠C=180°. Так как ∠B=∠C, получаем 2∠B=180°, ∠B=90°.
- Делаем вывод
В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°, поэтому все углы ABCD прямые. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.
- Проверяем обоснования и типичную ошибку
Нужно назвать признак равенства (по трём сторонам) и явно указать, какие углы равны как лежащие против AE и DE. Ошибка — сравнивать углы AEB и DEC: их равенство верно, но к прямому углу параллелограмма оно само не приводит. Вторая ошибка — пропустить, что ∠B+∠C=180°.
Ответ: ABCD — прямоугольник
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: доказано равенство треугольников ABE и DCE по трём сторонам с указанием, почему равны AB и DC, BE и CE, из него выведено ∠B=∠C, а с учётом ∠B+∠C=180° — что угол B прямой.
- 1
- Доказательство в целом верное, но содержит неточность: например, треугольники названы равными без указания признака или без обоснования равенства одной пары сторон, либо не пояснено, почему из ∠B=∠C следует ∠B=90°.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.