Условие
В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность. Докажите, что AD+BC=AB+CD.
Подсказка
Отметьте точки касания окружности со всеми четырьмя сторонами.
Какие отрезки касательных равны, если они проведены из одной вершины?
Показать ответ
AD+BC=AB+CD
Пошаговое решение
- Отмечаем точки касания
Окружность вписана в трапецию, значит, она касается каждой стороны во внутренней точке этой стороны. Пусть она касается сторон AB, BC, CD и DA в точках K, L, M и N соответственно.
- Применяем свойство касательных из одной точки
Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны. Из вершины A: AK=AN; из B: BK=BL; из C: CL=CM; из D: DM=DN.
- Раскладываем боковые стороны на отрезки касательных
Точки K и M лежат на сторонах AB и CD, поэтому AB=AK+KB и CD=CM+MD. Значит, AB+CD=AK+KB+CM+MD.
- Заменяем отрезки равными
Подставим равенства из шага 2: AB+CD=AN+BL+CL+DN=(AN+ND)+(BL+LC). Точки N и L лежат на основаниях AD и BC, поэтому AN+ND=AD и BL+LC=BC. Получаем AB+CD=AD+BC.
- Записываем вывод
AD+BC=AB+CD, что и требовалось доказать; параллельность оснований при этом не использовалась, равенство верно для любого описанного четырёхугольника. Типичная ошибка — считать трапецию равнобедренной (на рисунке боковые стороны AB и CD разные) или спутать пары: например, приравнять AK и BK, которые проведены из разных вершин.
Ответ: AD+BC=AB+CD
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: отмечены четыре точки касания, записаны четыре пары равных отрезков касательных из вершин A, B, C, D, стороны разложены на эти отрезки и получено AD+BC=AB+CD.
- 1
- Доказательство в целом верное, но равенство отрезков касательных использовано без формулировки свойства или не пояснено, что точки касания лежат на сторонах (AB=AK+KB и т. д.), либо одна из четырёх пар записана неточно, но итоговая сумма собрана верно.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.