ОГЭ, задание 25: Геометрия: сложная задача

Введите неизвестные для частей медиан, учитывая, как их делит точка пересечения.

Найдите три прямоугольных треугольника с вершиной в точке пересечения медиан.

1. Используем точку пересечения медиан

   Пусть медианы пересекаются в точке O. Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Обозначим OA1=x, OB1=y; тогда OA=2x, OB=2y. Медианы перпендикулярны, поэтому углы AOB, BOA1 и AOB1 прямые.

2. Теорема Пифагора в треугольнике BOA1

   A1 — середина BC, BA1=19/2. В прямоугольном треугольнике BOA1: OB²+OA1²=BA1², то есть 4y²+x²=361/4.

3. Теорема Пифагора в треугольнике AOB1

   B1 — середина AC, AB1=22:2=11. В прямоугольном треугольнике AOB1: OA²+OB1²=AB1², то есть 4x²+y²=121.

4. Складываем и находим AB

   Сложив равенства, получим 5x²+5y²=361/4+121=845/4, x²+y²=169/4. В прямоугольном треугольнике AOB: AB²=OA²+OB²=4x²+4y²=4·(169/4)=169, AB=13.

5. Проверяем и записываем ответ

   Получилась формула AB²=(BC²+AC²)/5=(361+484)/5=169. Треугольник со сторонами 13, 19, 22 существует (13+19>22). Типичная ошибка — забыть отношение 2:1 и обозначить OA=OA1=x, OB=OB1=y: тогда получатся несовместные уравнения x²+y²=361/4 и x²+y²=121.

Ответ: 13

2

Использовано деление медиан точкой пересечения в отношении 2:1, верно записаны теоремы Пифагора для треугольников BOA1, AOB1 и AOB, найдено x²+y²=169/4, получен ответ 13.

1

Ход решения верный, все шаги выполнены, но не обосновано отношение 2:1 или прямой угол в треугольниках BOA1 и AOB1, либо допущена одна вычислительная ошибка при сложении уравнений.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.