ОГЭ, задание 25: Геометрия: сложная задача

Рассмотрите треугольник ABA1: какой отрезок в нём является биссектрисой и что это даёт для AI:IA1?

Выразите все нужные площади в долях площади S треугольника ABC — S сократится.

1. Делим стороны биссектрисами

   По свойству биссектрисы AA1: BA1:A1C=AB:AC=7:8, поэтому BA1=(3·7)/15=1,4. По свойству биссектрисы BB1: AB1:B1C=AB:BC=7:3, поэтому AB1=(8·7)/10=5,6.

2. В каком отношении I делит биссектрисы

   В треугольнике ABA1 отрезок BI — биссектриса угла B, поэтому AI:IA1=AB:BA1=7:1,4=5:1. В треугольнике ABB1 отрезок AI — биссектриса угла A, поэтому BI:IB1=AB:AB1=7:5,6=5:4.

3. Площадь треугольника AIB

   Пусть S — площадь треугольника ABC. Треугольники ABA1 и ABC имеют общую высоту из A, поэтому S(ABA1)=(BA1/BC)·S=(7/15)·S. Треугольники AIB и AA1B имеют общую высоту из B, поэтому S(AIB)=(AI/AA1)·S(ABA1)=(5/6)·(7/15)·S=(7/18)·S.

4. Площадь четырёхугольника CA1IB1

   S(ABB1)=(AB1/AC)·S=(7/10)·S, S(AIB1)=(IB1/BB1)·S(ABB1)=(4/9)·(7/10)·S=(14/45)·S. Отрезок AA1 отделяет от ABC треугольник ABA1, а оставшийся треугольник AA1C отрезок IB1 делит на треугольник AIB1 и четырёхугольник CA1IB1: S(CA1IB1)=S−(7/15)·S−(14/45)·S=(2/9)·S.

5. Находим отношение и проверяем

   S(AIB):S(CA1IB1)=(7/18):(2/9)=1,75. Площадь S знать не нужно — она сокращается. Проверка: S(AIB)=AB·r/2 и S=(AB+BC+AC)·r/2, поэтому S(AIB)/S=7/(7+3+8)=7/18 — совпадает. Типичная ошибка — считать, что I делит биссектрисы в отношении 2:1, как точка пересечения медиан.

Ответ: 1,75

2

Верно применено свойство биссектрисы для нахождения BA1=1,4, AB1=5,6, AI:IA1 и BI:IB1; обоснованно выражены через S площади S(AIB)=(7/18)·S и S(CA1IB1)=(2/9)·S (общие высоты), получен ответ 1,75.

1

Ход решения верный, все шаги выполнены, но переходы к отношениям площадей не обоснованы (не указаны общие высоты) либо допущена одна вычислительная ошибка в одном из отношений.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.