Условие
В треугольнике ABC проведена высота BH, точка H лежит на стороне AC. Биссектриса угла A делит высоту BH в отношении 13:12, считая от вершины B. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 26.
Подсказка
В каком треугольнике отрезок AO — биссектриса, если O лежит на высоте BH?
Какая сторона треугольника ABC лежит против угла A и как она связана с радиусом описанной окружности?
Показать ответ
20
Пошаговое решение
- Рассматриваем треугольник ABH
Пусть биссектриса угла A пересекает BH в точке O. Треугольник ABH прямоугольный (угол H прямой), и так как H лежит на стороне AC, угол BAH — это угол A треугольника ABC. Значит, AO — биссектриса угла A треугольника ABH.
- Свойство биссектрисы даёт cos A
По свойству биссектрисы в треугольнике ABH: BO:OH=AB:AH=13:12. В прямоугольном треугольнике ABH cos A=AH/AB=12/13.
- Находим sin A
Угол A острый (это острый угол прямоугольного треугольника), поэтому sin A=√(1−cos²A)=√(1−144/169)=√(25/169)=5/13.
- Применяем теорему синусов
Сторона BC лежит против угла A, поэтому BC/sin A=2R, BC=2·26·(5/13)=20.
- Проверяем и записываем ответ
Отношение 13:12 — это отношение гипотенузы AB к катету AH, поэтому 13>12, как и должно быть. Типичная ошибка — принять 12/13 за синус угла A и получить BC=2·26·(12/13)=48; другая — применить свойство биссектрисы к треугольнику ABC вместо ABH.
Ответ: 20
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано, что AO — биссектриса прямоугольного треугольника ABH и AB:AH=13:12, найдены cos A=12/13 и sin A=5/13, по теореме синусов получен ответ 20.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но не обосновано, почему свойство биссектрисы применяется к треугольнику ABH (угол BAH равен углу A), либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.