Условие
В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол A прямой, AD — большее основание. Перпендикуляр AH, опущенный из вершины A на боковую сторону CD, равен 24. Известно, что AD = 30, CD = 25. Найдите площадь трапеции.
Подсказка
Рассмотрите треугольник ACD. Какие две его высоты вам известны или легко выражаются?
Высота трапеции здесь равна боковой стороне AB. Найдите её, затем — проекцию стороны CD на AD.
Показать ответ
450
Пошаговое решение
- Площадь треугольника ACD двумя способами
AH — высота треугольника ACD к стороне CD: S(ACD) = (1/2) · 25 · 24 = 300. С другой стороны, высота этого треугольника из C к AD равна расстоянию между основаниями, то есть боковой стороне AB (AB ⊥ AD): S(ACD) = (1/2) · 30 · AB.
- Высота трапеции
(1/2) · 30 · AB = 300, откуда AB = 25 · 24 : 30 = 20.
- Проекция боковой стороны CD
Опустим высоту CK на AD: CK = AB = 20, ABCK — прямоугольник, AK = BC. В прямоугольном треугольнике CKD KD = √(25² − 20²) = √225 = 15.
- Меньшее основание и площадь
BC = AK = AD − KD = 30 − 15 = 15. S = (AD + BC) : 2 · AB = (30 + 15) : 2 · 20 = 450.
- Проверяем и записываем ответ
В треугольнике AHD: DH = √(30² − 24²) = 18 < CD = 25, значит, H действительно лежит на стороне CD. Типичная ошибка — принять AH = 24 за высоту трапеции: AH перпендикулярна боковой стороне, а не основаниям.
Ответ: 450
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Ход решения верный, все шаги выполнены правильно: площадь треугольника ACD записана двумя способами, найдены AB = 20, KD = 15, BC = 15, получен верный ответ 450.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но не обосновано, что высота треугольника ACD из C равна AB, или не пояснено AK = BC, либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.