Условие
В треугольнике ABC стороны AB=13, BC=16, AC=19. Из вершины A проведены высота AH и биссектриса AL. Найдите длину отрезка HL.
Подсказка
Найдите проекцию стороны AB на BC с помощью теоремы косинусов.
В каком отношении биссектриса AL делит сторону BC?
Показать ответ
4,5
Пошаговое решение
- Находим cos B по теореме косинусов
AC²=AB²+BC²−2·AB·BC·cos B, откуда cos B=(169+256−361)/(2·13·16)=64/416=2/13. Аналогично cos C=(256+361−169)/(2·16·19)=14/19. Оба косинуса положительны, углы B и C острые, поэтому основание высоты H лежит на стороне BC.
- Находим BH
В прямоугольном треугольнике ABH: BH=AB·cos B=13·(2/13)=2.
- Находим BL по свойству биссектрисы
BL:LC=AB:AC=13:19, поэтому BL=(BC·AB)/(AB+AC)=(16·13)/32=6,5.
- Находим HL
Точки H и L лежат на отрезке BC, BH=2<BL=6,5, поэтому H лежит между B и L, и HL=BL−BH=6,5−2=4,5.
- Проверяем и записываем ответ
Считаем от C: CH=AC·cos C=19·(14/19)=14, CL=16−6,5=9,5, HL=CH−CL=4,5 — совпадает. Типичная ошибка — перепутать отношение и взять BL:LC=AC:AB; тогда получилось бы 7,5.
Ответ: 4,5
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Верно найдены cos B=2/13 и BH=2 (с обоснованием, что H лежит на стороне BC), по свойству биссектрисы найдено BL=6,5, обосновано взаимное расположение H и L, получен ответ 4,5.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но не обосновано положение точки H на стороне BC или порядок точек H и L, либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.