Условие
Точка M лежит на стороне AB ромба ABCD. Расстояния от точки M до прямых AD и BC равны 9 и 15 соответственно, диагональ BD равна 30. Найдите площадь ромба.
Подсказка
Как расположены прямые AD и BC? Чему равна сумма расстояний от точки между ними до этих прямых?
Запишите площадь треугольника ABD двумя способами: через высоту ромба и через диагональ BD.
Показать ответ
600
Пошаговое решение
- Высота ромба
Пусть MH и MK — перпендикуляры к прямым AD и BC. AD ∥ BC, поэтому прямая MH, перпендикулярная AD, перпендикулярна и BC, то есть точки H, M, K лежат на одной прямой. M лежит между прямыми AD и BC, значит, HK = 9 + 15 = 24 — расстояние между AD и BC, то есть высота ромба h.
- Площадь треугольника ABD через высоту
Пусть сторона ромба равна a. Высота треугольника ABD из вершины B к AD равна высоте ромба, поэтому S(ABD) = (1/2) · a · 24 = 12a.
- Площадь треугольника ABD через диагональ
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой O: BO = 15, AO = √(a² − 225) (из треугольника AOB). AO — высота треугольника ABD к BD: S(ABD) = (1/2) · 30 · AO = 15 · √(a² − 225).
- Находим сторону
12a = 15√(a² − 225). Возводим в квадрат: 144a² = 225a² − 50625, 81a² = 50625, a² = 625, a = 25.
- Площадь и проверка
S = a · h = 25 · 24 = 600. Проверка: AO = √(625 − 225) = 20, AC = 40, S = AC · BD : 2 = 40 · 30 : 2 = 600 — совпадает. Типичная ошибка — считать высотой ромба одно из данных расстояний (9 или 15).
Ответ: 600
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Ход решения верный, все шаги выполнены правильно: обосновано, что высота ромба равна 9 + 15 = 24, площадь треугольника ABD выражена двумя способами, найдена сторона 25 и получен верный ответ 600.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но не обосновано, что сумма расстояний равна высоте (не указано, что перпендикуляры лежат на одной прямой), либо допущена одна вычислительная ошибка при решении уравнения.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.