Условие
В треугольнике ABC стороны AB=8, AC=17, а медиана AM равна 7,5. Найдите площадь треугольника ABC.
Подсказка
Продлите медиану AM за точку M на её длину. Какой четырёхугольник получится?
Посмотрите на стороны получившегося треугольника ABD: нет ли среди них пифагоровой тройки?
Показать ответ
60
Пошаговое решение
- Удваиваем медиану
Продлим медиану AM за точку M на отрезок MD=AM. Тогда AD=2·7,5=15. В четырёхугольнике ABDC диагонали AD и BC точкой пересечения M делятся пополам (BM=MC, AM=MD), поэтому ABDC — параллелограмм и BD=AC=17.
- Треугольник ABD прямоугольный
В треугольнике ABD известны все стороны: AB=8, AD=15, BD=17. Так как 8²+15²=64+225=289=17², по теореме, обратной теореме Пифагора, угол BAD прямой.
- Площадь треугольника ABD
S(ABD)=(1/2)·AB·AD=(1/2)·8·15=60.
- Площади ABC и ABD равны
BM — медиана треугольника ABD (M — середина AD), поэтому S(ABD)=2·S(ABM). AM — медиана треугольника ABC, поэтому S(ABC)=2·S(ABM). Значит, S(ABC)=S(ABD).
- Проверяем и записываем ответ
S(ABC)=60. Проверка: угол BAM прямой, S(ABM)=(1/2)·8·7,5=30, S(ABC)=2·30=60. Типичная ошибка — считать прямым угол треугольника ABC и вычислить (1/2)·8·17=68: прямой угол — между AB и медианой AM.
Ответ: 60
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Выполнено удвоение медианы и обосновано, что ABDC — параллелограмм (BD=17), доказано, что угол BAD прямой (обратная теорема Пифагора), обосновано равенство S(ABC)=S(ABD), получен ответ 60.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но не обосновано, что ABDC — параллелограмм, или равенство площадей ABC и ABD использовано без пояснения, либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.