Условие
Окружность, вписанная в трапецию ABCD с основаниями AD и BC, касается боковой стороны CD в точке K, а боковой стороны AB — в точке M. Известно, что CK=4, KD=9, BM=3. Найдите площадь трапеции.
Подсказка
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов C и D. Чему равна сумма этих углов трапеции?
Радиус OK — высота прямоугольного треугольника COD к гипотенузе. Какое соотношение связывает её с отрезками гипотенузы?
Показать ответ
168
Пошаговое решение
- Доказываем, что угол COD прямой
Пусть O — центр окружности. Он равноудалён от сторон трапеции, поэтому лежит на биссектрисах её углов: CO и DO — биссектрисы углов C и D. Углы C и D прилежат к боковой стороне CD и являются односторонними при параллельных прямых BC и AD, поэтому угол C + угол D = 180°. Тогда угол OCD + угол ODC = 90°, и в треугольнике COD угол COD = 90°.
- Находим радиус и высоту
Радиус OK перпендикулярен касательной CD, значит, OK — высота прямоугольного треугольника COD, проведённая к гипотенузе. Поэтому OK² = CK·KD = 4·9 = 36, r = 6. Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: h = 2r = 12.
- То же для боковой стороны AB
Точно так же угол AOB = 90° и OM — высота к гипотенузе треугольника AOB: OM² = AM·BM, 36 = AM·3, AM = 12.
- Находим основания по равенству отрезков касательных
Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: из B — 3, из C — 4, из A — 12, из D — 9. Поэтому BC = 3 + 4 = 7, AD = 12 + 9 = 21. S = (BC + AD)·h/2 = (7 + 21)·12/2 = 168.
- Проверка
Боковые стороны AB = 15 и CD = 13; их проекции на основание: √(225 − 144) = 9 и √(169 − 144) = 5, а 9 + 5 = 14 = AD − BC. Всё сходится. Типичная ошибка — принять высоту равной радиусу 6 или считать трапецию равнобедренной.
Ответ: 168
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано, что углы COD и AOB прямые (биссектрисы односторонних углов), верно применено r² = CK·KD (r = 6, h = 12), найдено AM = 12, основания 7 и 21 получены из равенства отрезков касательных, получена площадь 168.
- 1
- Ход решения верный и доведён до конца, но не обосновано, что угол COD прямой или что высота равна диаметру, либо допущена одна вычислительная ошибка в нахождении радиуса, AM, оснований или площади.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.