ОГЭ, задание 25: Геометрия: сложная задача

Отрезок MN — средняя линия треугольника. Около какого треугольника описана данная окружность?

Примените теорему синусов к двум треугольникам с общим углом B и сравните радиусы.

1. Находим MN

   M и N — середины сторон AB и BC, поэтому MN — средняя линия треугольника ABC: MN ∥ AC и MN = AC/2 = 24/2 = 12.

2. Применяем теорему синусов к треугольнику MBN

   Данная окружность проходит через M, B, N, то есть описана около треугольника MBN. По теореме синусов MN/sin B = 2·6,5 = 13, откуда sin B = 12/13.

3. Находим радиус окружности, описанной около ABC

   Угол B у треугольников MBN и ABC общий. По теореме синусов для ABC: AC/sin B = 2R, 2R = 24·13/12 = 26, R = 13. (То же даёт гомотетия с центром B и коэффициентом 2: она переводит M в A, N в C и малую окружность в описанную.)

4. Находим расстояние от центра до AC

   Пусть O — центр описанной окружности, H — основание перпендикуляра из O на AC. Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам: AH = 12. Из прямоугольного треугольника AOH: OH = √(13² − 12²) = √25 = 5.

5. Проверка

   Центральный угол AOC вдвое больше вписанного угла B, поэтому OH = R·cos B. Угол B острый, cos B = √(1 − (12/13)²) = 5/13, OH = 13·5/13 = 5 — то же. Типичная ошибка — считать данную окружность описанной около ABC и брать R = 6,5.

Ответ: 5

2

Обосновано, что MN = 12 (средняя линия) и данная окружность описана около треугольника MBN, по теореме синусов найдено sin B = 12/13 и R = 13 (или применена гомотетия), перпендикуляр из центра к хорде AC верно найден: 5.

1

Ход решения верный и доведён до конца, но не обоснован переход от окружности MBN к описанной окружности ABC или не объяснено, что перпендикуляр из центра делит хорду пополам, либо допущена одна вычислительная ошибка.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.