Условие
Центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, лежит на его высоте BH. Найдите сторону AB, если AC=48, а радиус окружности равен 25.
Подсказка
Центр описанной окружности равноудалён от A и C. На какой прямой он лежит и как она связана с BH?
Найдите расстояние от центра до AC, а затем решите, по какую сторону от центра лежит вершина B.
Показать ответ
40
Пошаговое решение
- Доказываем, что H — середина AC
Пусть O — центр окружности. OA = OC как радиусы, значит, O лежит на серединном перпендикуляре к AC. Этот перпендикуляр и высота BH проходят через O и перпендикулярны AC, а через точку проходит только одна прямая, перпендикулярная данной. Значит, прямая BH — серединный перпендикуляр к AC, точка H — середина AC, AH = 48/2 = 24 (и треугольник равнобедренный, AB = BC).
- Находим OH
В прямоугольном треугольнике AOH: OA = 25, AH = 24, OH = √(25² − 24²) = √49 = 7.
- Находим высоту BH
Треугольник остроугольный, поэтому центр описанной окружности лежит внутри него, то есть между B и H. BH = BO + OH = 25 + 7 = 32.
- Находим AB
Из прямоугольного треугольника ABH: AB = √(AH² + BH²) = √(576 + 1024) = √1600 = 40.
- Проверка
S = AC·BH/2 = 48·32/2 = 768; R = AB·BC·AC/(4S) = 40·40·48/(4·768) = 25 — совпадает с данным радиусом. Если бы центр лежал вне треугольника, BH = 25 − 7 = 18 и угол B был бы тупым (18 < 24), что противоречит условию. Типичная ошибка — взять именно этот случай.
Ответ: 40
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано, что высота BH совпадает с серединным перпендикуляром к AC (AH = 24), найдено OH = 7, обоснован выбор BH = 25 + 7 = 32 для остроугольного треугольника, получено AB = 40.
- 1
- Ход решения верный и доведён до конца, но не обосновано, что H — середина AC, или не объяснено, почему BH = 32, а не 18, либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.