Условие
В угол с вершиной A вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Меньшая из них имеет радиус 5 и касается одной из сторон угла в точке K, причём AK=12. Найдите радиус большей окружности.
Подсказка
Где лежат центры окружностей, вписанных в угол? Найдите расстояние от вершины до центра меньшей.
Расстояние от вершины до центра и радиус любой окружности, вписанной в этот угол, относятся одинаково.
Показать ответ
11,25
Пошаговое решение
- Находим расстояние от вершины до центра меньшей окружности
Пусть O₁ — центр меньшей окружности. O₁K ⊥ AK (радиус в точку касания), из прямоугольного треугольника AKO₁: AO₁ = √(12² + 5²) = √169 = 13.
- Связываем радиус большей окружности с её расстоянием до A
Центры обеих окружностей равноудалены от сторон угла, поэтому лежат на его биссектрисе. Пусть O₂ — центр большей окружности, R — её радиус, P — точка касания с той же стороной. Прямоугольные треугольники AKO₁ и APO₂ подобны (общий угол A), поэтому AO₂/R = AO₁/O₁K = 13/5, AO₂ = 13R/5.
- Используем касание окружностей
Окружности касаются внешним образом, поэтому O₁O₂ = 5 + R, а точки A, O₁, O₂ лежат на биссектрисе в этом порядке (большая окружность дальше от вершины): AO₂ = AO₁ + O₁O₂ = 13 + 5 + R.
- Решаем уравнение
13R/5 = 18 + R, 13R = 90 + 5R, 8R = 90, R = 90/8 = 11,25.
- Проверка
AO₂ = 13 + 5 + 11,25 = 29,25, и 13·11,25/5 = 29,25 — совпадает. Отношение радиусов 11,25/5 = 2,25. Типичная ошибка — записать O₁O₂ = R − 5 (как при внутреннем касании) или считать, что AK относится к большей окружности.
Ответ: 11,25
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Найдено AO₁ = 13, обосновано, что центры лежат на биссектрисе и AO₂ : R = AO₁ : r (подобие прямоугольных треугольников), верно записано O₁O₂ = 5 + R и получен радиус 11,25.
- 1
- Ход решения верный и доведён до конца, но не обосновано подобие треугольников или расположение центров на биссектрисе, либо допущена одна вычислительная ошибка при составлении или решении уравнения.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.