Условие
Окружность, построенная на стороне AC треугольника ABC как на диаметре, пересекает сторону BC в точке D, причём BD : DC = 5 : 16. Найдите площадь треугольника ABC, если AB=13, AC=20.
Подсказка
Под каким углом виден диаметр AC из точки D, лежащей на окружности?
Обозначьте части стороны BC через одну переменную и выразите квадрат высоты двумя способами.
Показать ответ
126
Пошаговое решение
- Определяем, что AD — высота
Точка D лежит на окружности с диаметром AC и отлична от C, поэтому вписанный угол ADC опирается на диаметр и равен 90°. Значит, AD ⊥ BC, то есть AD — высота треугольника ABC, а D лежит на стороне BC.
- Вводим неизвестное
Пусть BD = 5t, DC = 16t. Выразим AD² из прямоугольных треугольников ABD и ACD: AD² = 13² − (5t)² = 20² − (16t)².
- Решаем уравнение
169 − 25t² = 400 − 256t², 231t² = 231, t² = 1, t = 1. Тогда BD = 5, DC = 16, BC = 21, AD = √(169 − 25) = 12.
- Находим площадь
S = BC·AD/2 = 21·12/2 = 126.
- Проверка по формуле Герона
Стороны 13, 21, 20: p = 27, S = √(27·14·6·7) = 126 — совпадает. Типичная ошибка — считать AD радиусом окружности (10) или не заметить, что угол ADC прямой.
Ответ: 126
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано, что угол ADC прямой (вписанный угол, опирающийся на диаметр) и AD — высота, верно составлено и решено уравнение 13² − (5t)² = 20² − (16t)², найдены BC = 21, AD = 12 и площадь 126.
- 1
- Ход решения верный и доведён до конца, но не обосновано, что AD перпендикулярна BC, либо допущена одна вычислительная ошибка при решении уравнения, нахождении высоты или площади.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.