Условие
Точка P лежит внутри равностороннего треугольника ABC. Расстояния от точки P до сторон AB, BC и AC равны соответственно 3, 5 и 7. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Подсказка
Разбейте треугольник ABC на три треугольника с общей вершиной P и сложите их площади.
Как центр описанной окружности равностороннего треугольника делит его высоту?
Показать ответ
10
Пошаговое решение
- Разбиваем треугольник на три части
Пусть сторона треугольника равна a. Отрезки PA, PB, PC делят треугольник ABC на треугольники PAB, PBC, PCA; их высоты, проведённые из P, — данные расстояния. S(ABC)=(1/2)·a·3+(1/2)·a·5+(1/2)·a·7=(1/2)·a·15.
- Находим высоту треугольника
С другой стороны, S(ABC)=(1/2)·a·h, где h — высота. Сравнивая, получаем h=3+5+7=15: сумма расстояний от внутренней точки до сторон равностороннего треугольника равна его высоте.
- Где центр описанной окружности
В равностороннем треугольнике высоты являются медианами и биссектрисами, поэтому центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан. Она делит каждую медиану (высоту) в отношении 2:1, считая от вершины, а радиус R — это расстояние от центра до вершины.
- Находим радиус
Высота h=15 состоит из радиуса описанной окружности (2 части) и радиуса вписанной (1 часть), поэтому R=(2/3)·h=(2/3)·15=10.
- Проверяем и записываем ответ
Сторона a=2h/√3, и по формуле R=a/√3=2h/3=10 — совпадает. Положение точки P на ответ не влияет. Типичная ошибка — взять R=h/3=5 (это радиус вписанной окружности) или R=h/2=7,5.
Ответ: 10
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Через сумму площадей треугольников PAB, PBC, PCA обоснованно получено, что высота равна 15, обосновано положение центра описанной окружности (деление высоты 2:1), получен ответ 10.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но равенство h=d1+d2+d3 или R=(2/3)h использовано без обоснования, либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.