Условие
В треугольнике ABC биссектриса AD и медиана BM пересекаются в точке O. Найдите площадь четырёхугольника OMCD, если AB=12, AC=8, а площадь треугольника ABC равна 40.
Подсказка
Рассмотрите треугольник ABM: чем в нём является отрезок AO?
Площадь четырёхугольника удобно получить как разность: треугольник ADC без треугольника AOM.
Показать ответ
11
Пошаговое решение
- Находим, в каком отношении O делит медиану
M — середина AC, поэтому AM=8:2=4. В треугольнике ABM отрезок AO — биссектриса угла A (угол BAM — это угол BAC). По свойству биссектрисы BO:OM=AB:AM=12:4=3:1.
- Площади треугольников ABM и AOM
Медиана BM делит треугольник ABC на два треугольника с равными основаниями AM=MC и общей высотой из B, поэтому S(ABM)=40:2=20. Треугольники AOM и ABM имеют общую высоту из A, значит, их площади относятся как OM:BM=1:4: S(AOM)=20:4=5.
- Площадь треугольника ABD
AD — биссектриса треугольника ABC, поэтому BD:DC=AB:AC=12:8. Треугольники ABD и ABC имеют общую высоту из A, значит, S(ABD)=(BD/BC)·S(ABC)=(12/20)·40=24.
- Составляем четырёхугольник из частей
Отрезок AD делит треугольник ABC на треугольники ABD и ADC, а отрезок OM делит треугольник ADC на треугольник AOM и четырёхугольник OMCD. Поэтому S(OMCD)=S(ABC)−S(ABD)−S(AOM)=40−24−5=11.
- Проверяем и записываем ответ
S(ADC)=40−24=16, и 5+11=16 — части сходятся. Типичная ошибка — делить медиану в отношении AB:AC=12:8: в треугольнике ABM противолежащая сторона AM, а не AC; с этой ошибкой получится 8.
Ответ: 11
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано, что AO — биссектриса треугольника ABM и BO:OM=AB:AM=12:4; верно найдены S(AOM)=5 и S(ABD)=24 через отношения площадей с общей высотой, получен ответ 11.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но не обосновано отношение BO:OM (не указан треугольник ABM) или отношения площадей с общей высотой не пояснены, либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.