Условие
В прямоугольную трапецию с основаниями 6 и 12 вписана окружность. Найдите площадь трапеции.
Подсказка
Перпендикулярная боковая сторона равна высоте h. Другая — √(h²+(12−6)²)=√(h²+36).
У четырёхугольника с вписанной окружностью суммы противоположных сторон равны. Поэтому h+√(h²+36)=18.
Показать ответ
72
Пошаговое решение
- Выражаем боковые стороны
Перпендикулярная боковая сторона равна высоте h. Другая — √(h²+(12−6)²)=√(h²+36).
- Используем равные касательные
У четырёхугольника с вписанной окружностью суммы противоположных сторон равны. Поэтому h+√(h²+36)=18.
- Решаем с учётом знака
√(h²+36)=18−h≥0. После возведения в квадрат получаем h²+36=324−36h+h², значит h=8.
- Проверяем найденную высоту
При h=8 наклонная сторона 10; сумма боковых сторон 8+10=18, равная сумме оснований. Правая часть перед возведением в квадрат положительна.
- Вычисляем площадь
S=(6+12)·8/2=72.
Ответ: 72