Условие
В треугольнике ABC проведена медиана AM. Прямая, параллельная стороне AC, пересекает сторону AB в точке K, медиану AM — в точке P, а сторону BC — в точке L, причём AK:KB=2:3. Найдите площадь треугольника APK, если площадь треугольника ABC равна 100.
Подсказка
Найдите, в каком отношении точка L делит BC, и где она расположена относительно середины M.
Рассмотрите треугольник MAC: прямая PL параллельна его стороне AC.
Показать ответ
16
Пошаговое решение
- Подобие треугольников KBL и ABC
KL ∥ AC, поэтому треугольники KBL и ABC подобны (угол B общий, углы BKL и BAC соответственные). BK/BA=3/5, значит, BL/BC=3/5=0,6. Так как BM=BC/2=0,5·BC, точка L лежит между M и C, и ML=BL−BM=(0,6−0,5)·BC=0,1·BC, MC=0,5·BC.
- Подобие треугольников MPL и MAC
PL ∥ AC, угол M общий, поэтому треугольники MPL и MAC подобны: MP/MA=ML/MC=0,1/0,5=1/5. Значит, AP=AM−MP=(1−1/5)·AM=(4/5)·AM.
- Площадь треугольника ABM
Медиана AM делит треугольник ABC на два треугольника равной площади: S(ABM)=100:2=50.
- Площадь треугольника APK
Треугольники APK и AMB имеют общий угол A, поэтому S(APK)/S(AMB)=(AP/AM)·(AK/AB)=(4/5)·(2/5)=8/25. S(APK)=50·(8/25)=16.
- Проверяем и записываем ответ
Отношение AP:PM=4:1 не совпадает с AK:KB=2:3: прямая KL параллельна AC, а не BM. Типичная ошибка — считать, что P делит медиану так же, как K делит AB; тогда получилось бы 8.
Ответ: 16
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно (двумя подобиями: KBL ~ ABC и MPL ~ MAC) найдено AP/AM=4/5, использовано S(ABM)=50 и отношение площадей треугольников с общим углом A, получен ответ 16.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но одно из подобий не обосновано (или не указано, что L лежит между M и C), либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.