Условие
Прямоугольник ABCD вписан в полукруг радиуса 5: сторона AB лежит на диаметре, вершины C и D — на полуокружности. AB:AD=3:2. Найдите площадь прямоугольника.
Подсказка
Хорда CD параллельна диаметру. Перпендикуляр из центра O окружности делит CD пополам; его основание лежит и над серединой AB. Поэтому горизонтальный катет от O до проекции D равен половине AB.
Пусть AB=3t, AD=2t, t>0. Прямоугольный треугольник с гипотенузой OD имеет катеты 3t/2 и 2t.
Показать ответ
24
Пошаговое решение
- Находим положение центра
Хорда CD параллельна диаметру. Перпендикуляр из центра O окружности делит CD пополам; его основание лежит и над серединой AB. Поэтому горизонтальный катет от O до проекции D равен половине AB.
- Обозначаем размеры в заданном отношении
Пусть AB=3t, AD=2t, t>0. Прямоугольный треугольник с гипотенузой OD имеет катеты 3t/2 и 2t.
- Используем радиус
(3t/2)²+(2t)²=25, то есть 25t²/4=25. Значит t=2.
- Вычисляем площадь
AB=6, AD=4. S=6·4=24. Все размеры положительны, верхние вершины действительно лежат на заданной полуокружности.
Ответ: 24