Условие
Периметр параллелограмма ABCD равен 45. Точка O пересечения его диагоналей удалена от прямой AB на 4, а от прямой AD — на 5. Найдите площадь параллелограмма.
Подсказка
Как связано расстояние от середины диагонали до стороны с высотой параллелограмма?
Запишите площадь через каждую сторону и её высоту и приравняйте; добавьте условие на периметр.
Показать ответ
100
Пошаговое решение
- Расстояние от центра — половина высоты
O — середина диагонали AC. Проведём через C перпендикуляр к AB: по теореме Фалеса (или из подобия треугольников с коэффициентом 1/2) расстояние от O до AB равно половине расстояния от C до AB. Значит, высота к стороне AB равна h₁ = 2 · 4 = 8, а к стороне AD — h₂ = 2 · 5 = 10.
- Площадь двумя способами
S = AB · h₁ = AD · h₂, то есть 8 · AB = 10 · AD, откуда AB : AD = 5 : 4.
- Находим стороны
Полупериметр AB + AD = 45 : 2 = 22,5. Делим 22,5 в отношении 5 : 4: AB = 22,5 · (5/9) = 12,5, AD = 22,5 · (4/9) = 10.
- Площадь
S = AB · h₁ = 12,5 · 8 = 100; проверка: AD · h₂ = 10 · 10 = 100 — совпадает.
- Проверяем и записываем ответ
Такой параллелограмм существует: sin A = h₁ : AD = 8 : 10 = 4/5 < 1. Типичные ошибки — взять за высоты сами расстояния 4 и 5 (получится вдвое меньшая площадь) или перепутать, к какой стороне какая высота, и получить AB : AD = 4 : 5.
Ответ: 100
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Ход решения верный, все шаги выполнены правильно: обосновано, что высоты равны 8 и 10 (удвоенные расстояния от центра), из S = AB·h₁ = AD·h₂ и периметра найдены AB = 12,5, AD = 10, получен верный ответ 100.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но не обосновано, почему высота вдвое больше расстояния от O, или перепутано соответствие высот и сторон при верной идее, либо одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.