ОГЭ, задание 25: Геометрия: сложная задача

Выразите углы A и B через четверть угла C из прямоугольных треугольников с катетом CH.

Найдите угол между стороной CA и радиусом CO описанной окружности. С каким отрезком совпадает CO?

1. Выражаем углы A и B

   Пусть CH — высота, CL — биссектриса, CM — медиана, и ∠ACH=∠HCL=∠LCM=∠MCB=α, ∠C=4α. Из прямоугольного треугольника ACH: ∠A=90°−α. Из прямоугольного треугольника BCH (∠HCB=3α): ∠B=90°−3α. Оба угла острые.

2. Где лежит центр описанной окружности

   Пусть O — центр описанной окружности. Центральный угол AOC опирается на ту же дугу, что и вписанный угол B, поэтому ∠AOC=2∠B. Треугольник AOC равнобедренный (OA=OC), значит, ∠ACO=(180°−2∠B):2=90°−∠B=3α. Но и ∠ACM=3α, поэтому луч CO совпадает с лучом CM: O лежит на прямой CM.

3. Центр описанной окружности — точка M

   Точка O лежит и на серединном перпендикуляре к AB, который проходит через M. Прямая CM не перпендикулярна AB (иначе медиана совпала бы с высотой, а между ними угол 2α), поэтому эти две прямые имеют единственную общую точку M. Значит, O=M, то есть AB — диаметр описанной окружности.

4. Находим угол C и все углы

   Вписанный угол ACB опирается на диаметр, поэтому ∠C=90°, 4α=90°, α=22,5°. Тогда ∠A=90°−22,5°=67,5°, ∠B=90°−3·22,5°=22,5°.

5. Проверяем и записываем ответ

   Сумма углов: 67,5°+22,5°+90°=180°. В прямоугольном треугольнике медиана CM=MB, поэтому ∠MCB=∠B=22,5°=α — сходится. Типичная ошибка — в ответе записать α как четверть произвольного угла, не доказав, что ∠C=90°, или указать больший острый угол 67,5°.

Ответ: 22,5

2

Доказано, что центр описанной окружности совпадает с серединой M стороны AB (луч CO совпадает с CM, CM не перпендикулярна AB), отсюда ∠C=90° и α=22,5°; найдены углы 67,5° и 22,5°, получен ответ 22,5.

1

Ход решения верный и доведён до ответа, но не обосновано, почему O совпадает с M (не указано, что CM не перпендикулярна AB), или равенство ∠C=90° взято без доказательства, либо одна ошибка в вычислении углов.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.