Условие
В треугольник ABC со сторонами AB=11, BC=13, AC=12 вписана окружность. Касательная к этой окружности, параллельная стороне AC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите длину отрезка MN.
Подсказка
Чему равен периметр отсечённого треугольника MBN, если использовать равенство отрезков касательных?
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Показать ответ
4
Пошаговое решение
- Отрезки касательных из вершины B
Пусть окружность касается AB, BC, AC в точках K, L, T. Отрезки касательных из одной точки равны: AK=AT, CL=CT, BK=BL. Тогда BK+BL=AB+BC−(AK+CL)=AB+BC−(AT+TC)=AB+BC−AC=11+13−12=12, BK=BL=6.
- Периметр треугольника MBN
Пусть MN касается окружности в точке Q. Из точки M проведены касательные MK и MQ, из точки N — NL и NQ, поэтому MQ=MK, NQ=NL. P(MBN)=BM+MN+BN=BM+MK+NL+BN=BK+BL=12.
- Подобие треугольников MBN и ABC
MN ∥ AC, поэтому углы BMN и BAC равны как соответственные, угол B общий: треугольники MBN и ABC подобны. Отношение периметров равно коэффициенту подобия: k=12/(11+13+12)=12/36=1/3.
- Находим MN
Стороне MN соответствует сторона AC: MN=k·AC=(1/3)·12=4.
- Проверяем и записываем ответ
BM=k·AB=11/3<AB, BN=k·BC=13/3<BC, и 11/3+13/3+4=12 — периметр сходится. Типичная ошибка — считать периметр MBN равным BK=6 или считать окружность вписанной в треугольник MBN: она касается MN, но продолжений BM и BN за точки M и N.
Ответ: 4
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- С помощью равенства отрезков касательных обоснованно найден периметр треугольника MBN, равный AB+BC−AC=12, доказано подобие MBN и ABC с коэффициентом 1/3, получен ответ 4.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но равенство P(MBN)=BK+BL или подобие треугольников не обосновано (использовано без пояснений), либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.