Условие
В окружности с центром O и радиусом 10 хорда AB удалена от центра на 5. Касательные к окружности в точках A и B пересекаются в точке P. Найдите OP.
Подсказка
Соедините O с P и обозначьте M — середину хорды AB.
Докажите подобие треугольников OMA и OAP и используйте OA²=OM·OP.
Показать ответ
20
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Соедините O с P и обозначьте M — середину хорды AB. Докажите подобие треугольников OMA и OAP и используйте OA²=OM·OP.
- Выполняем преобразование
Линия OP является серединным перпендикуляром к хорде AB; пусть M=OP∩AB, тогда OM=5.
- Используем подобие
Треугольники OMA и OAP подобны: у них общий угол при O и прямые углы при M и A.
- Выполняем преобразование
Отсюда OA/OM=OP/OA, то есть OP=OA²/OM=10²/5=20.
Ответ: 20