Условие
Диагонали AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны. Известно, что AB = 15, BC = 41, CD = 50, AC = 52. Найдите площадь четырёхугольника ABCD.
Подсказка
Обозначьте AO = x и выразите BO² из двух прямоугольных треугольников с общим катетом BO.
Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями выражается через длины диагоналей.
Показать ответ
1014
Пошаговое решение
- Точка O на диагонали AC
Пусть O — точка пересечения диагоналей, AO = x, тогда OC = 52 − x. BO ⊥ AC, поэтому из прямоугольных треугольников ABO и CBO: BO² = 15² − x² = 41² − (52 − x)².
- Решаем уравнение
225 − x² = 1681 − 2704 + 104x − x², 104x = 225 − 1681 + 2704 = 1248, x = 12. Значит, AO = 12, OC = 40, BO = √(225 − 144) = 9.
- Находим OD
В прямоугольном треугольнике COD: OD = √(CD² − OC²) = √(2500 − 1600) = √900 = 30. Тогда BD = BO + OD = 9 + 30 = 39.
- Площадь четырёхугольника
Диагональ AC делит ABCD на треугольники ABC и ADC с высотами BO и OD к AC: S = (1/2) · AC · BO + (1/2) · AC · OD = (1/2) · AC · BD = (1/2) · 52 · 39 = 1014.
- Проверяем и записываем ответ
Сторона AD = √(AO² + OD²) = √(144 + 900) = √1044; для перпендикулярных диагоналей AB² + CD² = BC² + AD²: 225 + 2500 = 1681 + 1044 = 2725 — верно. Типичная ошибка — считать O серединой AC (AO = 26), как в ромбе.
Ответ: 1014
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Ход решения верный, все шаги выполнены правильно: из уравнения для BO² найдены AO = 12, BO = 9, затем OD = 30, BD = 39, обоснована формула S = AC · BD : 2 и получен верный ответ 1014.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но формула площади через перпендикулярные диагонали применена без обоснования, либо допущена одна вычислительная ошибка в AO, BO, OD или площади.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.