ОГЭ, задание 25: Геометрия: сложная задача

Чему равна сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне? Какой тогда угол AMB?

Продлите AM до пересечения с прямой BC. Какой треугольник получится и где окажется точка M?

1. Угол AMB прямой

   ∠A + ∠B = 180° (односторонние углы при AD ∥ BC и секущей AB). Половины этих углов в сумме дают 90°, поэтому в треугольнике ABM ∠AMB = 180° − 90° = 90°. По теореме Пифагора AM = √(25² − 15²) = √400 = 20.

2. Дополнительное построение: продлим AM

   Пусть прямая AM пересекает прямую BC в точке K. ∠BKA = ∠KAD как накрест лежащие, а ∠KAD = ∠BAK, так как AM — биссектриса. Значит, ∠BKA = ∠BAK, и треугольник ABK равнобедренный: BK = AB = 25.

3. M — середина AK

   В равнобедренном треугольнике ABK биссектриса BM, проведённая к основанию AK, является медианой: AM = MK. Треугольники AMD и KMC равны по стороне и двум прилежащим углам (AM = MK, вертикальные углы при M, ∠MAD = ∠MKC как накрест лежащие). Отсюда S(AMD) = S(KMC).

4. Площадь трапеции равна площади треугольника ABK

   S(ABCD) = S(ABCM) + S(AMD), S(ABK) = S(ABCM) + S(KMC), поэтому S(ABCD) = S(ABK). BM — высота треугольника ABK к стороне AK = 2 · AM = 40, поэтому S = (1/2) · 40 · 15 = 300.

5. Проверяем и записываем ответ

   S(ABM) = (1/2) · 20 · 15 = 150 — ровно половина трапеции, как и должно быть: треугольники ABM и KBM равны. Типичная ошибка — ответить S(ABM) = 150, не заметив, что треугольник ABM составляет только половину трапеции.

Ответ: 300

2

Ход решения верный, все шаги выполнены правильно: обоснован прямой угол AMB и AM = 20, доказано, что M — середина AK (треугольник ABK равнобедренный) и S(ABCD) = S(ABK) через равенство треугольников AMD и KMC, получен верный ответ 300.

1

Ход решения верный, все шаги выполнены, но равенство треугольников AMD и KMC (или то, что BK = AB) не обосновано, либо допущена одна вычислительная ошибка в AM или в площади.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.