Условие
Стороны треугольника ABC равны AB=10, BC=17, AC=21. Окружность касается стороны BC и продолжений сторон AB и AC за точки B и C. Найдите радиус этой окружности.
Подсказка
Соедините центр окружности с вершинами. Из каких треугольников можно составить четырёхугольник ABOC?
Высоты треугольников с вершиной в центре окружности, проведённые к прямым AB, AC и BC, равны радиусу.
Показать ответ
12
Пошаговое решение
- Находим площадь треугольника по формуле Герона
p = (10 + 17 + 21)/2 = 24, S = √(24·14·7·3) = √7056 = 84.
- Разбиваем фигуру на треугольники с вершиной в центре
Пусть O — центр окружности, r — её радиус. Окружность касается прямых AB, AC и BC, поэтому расстояние от O до каждой из них равно r. Четырёхугольник ABOC можно составить двумя способами: из треугольников ABC и BOC или из треугольников AOB и AOC. Поэтому S(ABC) = S(AOB) + S(AOC) − S(BOC).
- Выражаем площади через радиус
У треугольников AOB, AOC, BOC высоты из O равны r: S(AOB) = 10r/2, S(AOC) = 21r/2, S(BOC) = 17r/2. Получаем 84 = r(10 + 21 − 17)/2 = 7r, то есть S = r(p − BC).
- Находим радиус
Из равенства S = r(p − BC) получаем r = S/(p − BC) = 84/7 = 12.
- Проверка
Отрезки касательных из A равны p = 24 (AB + BT + AC + CT = периметр, где T — точка касания с BC), а центр лежит на биссектрисе угла A, поэтому r = p·tg(A/2). cos A = (100 + 441 − 289)/(2·10·21) = 0,6, sin A = 0,8, tg(A/2) = sin A/(1 + cos A) = 0,5, r = 24·0,5 = 12. Типичная ошибка — найти радиус вписанной окружности S/p = 3,5.
Ответ: 12
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Верно найдена площадь 84 по формуле Герона, обосновано равенство S(ABC) = S(AOB) + S(AOC) − S(BOC) (расстояния от центра до трёх прямых равны r), получено S = r(p − BC) и r = 12.
- 1
- Ход решения верный и доведён до конца, но разложение площади (знак у S(BOC)) или равенство расстояний радиусу не обосновано, либо допущена одна вычислительная ошибка в формуле Герона или при делении.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.