Условие
Известно, что 5 < a < 7 и 1 < b < 2. Какое из неравенств верно при любых таких a и b? 1) 4 < a − b < 5 2) 3 < a − b < 6 3) 6 < a − b < 9 4) 3 < a − b < 5. В ответе укажите номер неравенства.
Подсказка
Запишите разность a − b как сумму a + (−b).
Умножая неравенство на отрицательное число, меняйте знаки неравенства.
Показать ответ
2
Пошаговое решение
- Заменяем вычитание сложением
Вычитать неравенства нельзя, поэтому запишем a − b = a + (−b). Умножим 1 < b < 2 на −1, знаки меняются: −2 < −b < −1.
- Складываем неравенства одного смысла
5 < a < 7 и −2 < −b < −1. Складываем левые, средние и правые части: 5 − 2 < a − b < 7 − 1, то есть 3 < a − b < 6.
- Проверяем крайние случаи
Если a близко к 5, а b близко к 2, разность близка к 3; если a близко к 7, а b близко к 1, разность близка к 6. Значит, промежуток нельзя сузить.
- Записываем ответ
Верное неравенство — 3 < a − b < 6, вариант 2. Типичная ошибка — вычесть границы «по порядку»: 5 − 1 < a − b < 7 − 2, то есть 4 < a − b < 5; но при a = 6,9 и b = 1,1 разность 5,8 в этот промежуток не попадает.
Ответ: 2