Условие
Найдите значение выражения (7ⁿ⁺¹ − 7ⁿ⁻¹) / (12·7ⁿ⁻²).
Подсказка
Вынесите за скобку в числителе степень 7 с наименьшим показателем.
Сравните показатели: на сколько n+1 больше, чем n−1?
Показать ответ
28
Пошаговое решение
- Выносим общий множитель
В числителе обе степени делятся на меньшую из них, 7ⁿ⁻¹: 7ⁿ⁺¹=7ⁿ⁻¹·7², поэтому 7ⁿ⁺¹−7ⁿ⁻¹=7ⁿ⁻¹·(7²−1)=7ⁿ⁻¹·(49−1)=48·7ⁿ⁻¹.
- Делим на знаменатель
48·7ⁿ⁻¹ / (12·7ⁿ⁻²): числа дают 48:12=4, степени — 7ⁿ⁻¹:7ⁿ⁻²=7^((n−1)−(n−2))=7¹. Буква n исчезла.
- Вычисляем
Выражение равно 4·7=28, и это значение одинаково при любом n.
- Проверяем типичную ошибку
Показатели n+1 и n−1 отличаются на 2, а не на 1: 7ⁿ⁺¹=7ⁿ⁻¹·7². Если вынести 7ⁿ⁻¹ и написать в скобке 7−1=6, получится 6·7/12=3,5 — неверно. Вычитать сами степени как 7ⁿ⁺¹−7ⁿ⁻¹=7² тоже нельзя: так делают только при делении.
Ответ: 28