Условие
Решите уравнение x⁴ = (x − 6)². Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
Подсказка
Запишите x⁴ как квадрат и подумайте, когда квадраты двух выражений равны.
Рассмотрите оба случая: выражения равны или противоположны. Один из случаев может не дать корней.
Показать ответ
2
Пошаговое решение
- Видим равенство двух квадратов
x⁴ = (x²)², поэтому уравнение имеет вид (x²)² = (x − 6)². Квадраты двух чисел равны, когда сами числа равны или противоположны: x² = x − 6 или x² = −(x − 6). То же даёт разность квадратов: (x² − x + 6)(x² + x − 6) = 0.
- Решаем первый случай
x² = x − 6, то есть x² − x + 6 = 0. D = (−1)² − 4·1·6 = 1 − 24 = −23 < 0 — корней нет.
- Решаем второй случай
x² = −x + 6, то есть x² + x − 6 = 0. D = 1² − 4·1·(−6) = 1 + 24 = 25, √D = 5. x = (−1 ± 5)/2: x₁ = −3, x₂ = 2.
- Выбираем больший корень
Корни −3 и 2, больший 2. Проверка: 2⁴ = 16 и (2 − 6)² = 16. Типичная ошибка — «извлечь корень» только со знаком плюс, записать x² = x − 6, получить D < 0 и ответить, что корней нет.
Ответ: 2